Resolver 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6x^{2}+ax+bx-5 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=10$$

Berridatzi 6x^{2}+7x-5 honela: \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Deskonposatu 2x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-1=0 eta 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Egin 7 ber bi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Gehitu 49 eta 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±13}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Murriztu \frac{6}{12} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±13}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Murriztu \frac{-20}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Egin -5 ken 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Zatitu \frac{7}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Gehitu \frac{5}{6} eta \frac{49}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Egin ken \frac{7}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$