Resolver 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6x^{2}+ax+bx+3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 18 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,18 2,9 3,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=2 b=9$$

Berridatzi 6x^{2}+11x+3 honela: \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Deskonposatu 3x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x+1=0 eta 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, 11 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Egin 11 ber bi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Gehitu 121 eta -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-11±7}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -11 eta 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Murriztu \frac{-4}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-11±7}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Murriztu \frac{-18}{12} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Murriztu \frac{-3}{6} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Zatitu \frac{11}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{11}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{11}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Egin \frac{11}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{121}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Atera x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Egin ken \frac{11}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$