Resolver 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1.5-2.179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1.5+2.179449472i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

12 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

Egin 12 ken 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta -7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 9 eta -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Atera -19 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

Zatitu -3+i\sqrt{19} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{19} ken -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

Zatitu -3-i\sqrt{19} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

Egin 5 ken 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

Zatitu 3 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

Zatitu 7 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-3x=-7$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Gehitu -7 eta \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Atera x^{2}-3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$