Resolver 5y^2-3y-36=0

$$5 y ^ { 2 } - 3 y - 36 = 0$$

Ebatzi: y

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2.4$$

$$y=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5y^{2}+ay+by-36 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=5\left(-36\right)=-180$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -180 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

-3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=12$$

Berridatzi 5y^{2}-3y-36 honela: \left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)$$

Deskonposatu 5y lehen taldean, eta 12 bigarren taldean.

$$5y\left(y-3\right)+12\left(y-3\right)$$

Deskonposatu y-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-3\right)\left(5y+12\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-3=0 eta 5y+12=0.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta -36 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Egin -3 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -36.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2\times 5}$$

Gehitu 9 eta 720.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

Atera 729 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±27}{2\times 5}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$y=\frac{3±27}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$y=\frac{3±27}{10}$$

Orain, ebatzi y=\frac{3±27}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta 27.

$$y=\frac{30}{10}$$

Zatitu 30 balioa 10 balioarekin.

$$y=3$$

Orain, ebatzi y=\frac{3±27}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 27 ken 3.

$$y=-\frac{24}{10}$$

Murriztu \frac{-24}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=-\frac{12}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Gehitu 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y^{2}-3y-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

-36 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5y^{2}-3y=-\left(-36\right)$$

Egin -36 ken 0.

$$5y^{2}-3y=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5y^{2}-3y}{5}=\frac{36}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=\frac{36}{5}$$

Zatitu -\frac{3}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{36}{5}+\frac{9}{100}$$

Gehitu \frac{36}{5} eta \frac{9}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{729}{100}$$

Atera y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{27}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{27}{10}$$

Gehitu \frac{3}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$