Resolver 5x^2-8x-4=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x - 4 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5x^{2}+ax+bx-4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -20 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

-8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-10 b=2$$

Berridatzi 5x^{2}-8x-4 honela: \left(5x^{2}-10x\right)+\left(2x-4\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(2x-4\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$5x\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)$$

Deskonposatu x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta 5x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-8x-4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -8 balioa b balioarekin, eta -4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Egin -8 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Gehitu 64 eta 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Atera 144 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 5}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$x=\frac{8±12}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{8±12}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±12}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 12.

$$x=\frac{20}{10}$$

Zatitu 20 balioa 10 balioarekin.

$$x=2$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±12}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 12 ken 8.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Murriztu \frac{-4}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-8x-4=0$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-8x=-\left(-4\right)$$

Egin -4 ken 0.

$$5x^{2}-8x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=\frac{4}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

Zatitu -\frac{8}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{4}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{4}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{4}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

Gehitu \frac{4}{5} eta \frac{16}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

Gehitu \frac{4}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$