Resolver 5x^2-7x-6=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 6 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5x^{2}+ax+bx-6 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-7 ab=5\left(-6\right)=-30$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

-7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-10 b=3$$

Berridatzi 5x^{2}-7x-6 honela: \left(5x^{2}-10x\right)+\left(3x-6\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(3x-6\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$5x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)$$

Deskonposatu x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-2\right)\left(5x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta 5x+3=0.

$$x=2 x=-\frac{3}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-7x-6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta -6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

Egin -7 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 5}$$

Gehitu 49 eta 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 5}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 5}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$x=\frac{7±13}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{7±13}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±13}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta 13.

$$x=\frac{20}{10}$$

Zatitu 20 balioa 10 balioarekin.

$$x=2$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±13}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken 7.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Murriztu \frac{-6}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2 x=-\frac{3}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-7x-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-7x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

-6 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-7x=-\left(-6\right)$$

Egin -6 ken 0.

$$5x^{2}-7x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{6}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{6}{5}$$

Zatitu -\frac{7}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{6}{5}+\frac{49}{100}$$

Gehitu \frac{6}{5} eta \frac{49}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{169}{100}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{169}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{13}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{13}{10}$$

Gehitu \frac{7}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-\frac{3}{5}$$