Resolver 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1.744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0.344030651$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Egin -7 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

Gehitu 49 eta 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{109} ken 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Egin -3 ken 0.

$$5x^{2}-7x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

Zatitu -\frac{7}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Gehitu \frac{3}{5} eta \frac{49}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Gehitu \frac{7}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$