Resolver 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -40 balioa b balioarekin, eta 85 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Egin -40 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Gehitu 1600 eta -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Atera -100 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

-40 zenbakiaren aurkakoa 40 da.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{40±10i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 40 eta 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Zatitu 40+10i balioa 10 balioarekin.

$$x=4+i$$

Orain, ebatzi x=\frac{40±10i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 10i ken 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Zatitu 40-10i balioa 10 balioarekin.

$$x=4-i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=4+i x=4-i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Egin ken 85 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

85 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Zatitu -40 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Zatitu -85 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-8x=-17$$

Zatitu -8 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -4 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -4 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Egin -4 ber bi.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Gehitu -17 eta 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Atera x^{2}-8x+16 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Sinplifikatu.

$$x-4=i x-4=-i$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4+i x=4-i$$