Resolver 5x^2-3x-2=0

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5x^{2}+ax+bx-2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -10 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-10 2,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

-3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=2$$

Berridatzi 5x^{2}-3x-2 honela: \left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$5x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Deskonposatu x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-1\right)\left(5x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-1=0 eta 5x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta -2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Egin -3 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

Gehitu 9 eta 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 5}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$x=\frac{3±7}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{3±7}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±7}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta 7.

$$x=\frac{10}{10}$$

Zatitu 10 balioa 10 balioarekin.

$$x=1$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±7}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken 3.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Murriztu \frac{-4}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

Egin -2 ken 0.

$$5x^{2}-3x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{2}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

Zatitu -\frac{3}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Gehitu \frac{2}{5} eta \frac{9}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

Gehitu \frac{3}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$