Resolver 5x^2-20x+15=0

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 15 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=1$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx+3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=-3 b=-1$$

Berridatzi x^{2}-4x+3 honela: \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -20 balioa b balioarekin, eta 15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Egin -20 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Gehitu 400 eta -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Atera 100 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

-20 zenbakiaren aurkakoa 20 da.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{20±10}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 20 eta 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Zatitu 30 balioa 10 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{20±10}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 10 ken 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Zatitu 10 balioa 10 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-20x+15-15=-15$$

15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Zatitu -20 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Zatitu -15 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-4x=-3$$

Zatitu -4 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -2 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -2 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Egin -2 ber bi.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Gehitu -3 eta 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Atera x^{2}-4x+4 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sinplifikatu.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=1$$