Resolver 5x^2-2x+1=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0.2+0.4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0.2-0.4i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20}}{2\times 5}$$

Gehitu 4 eta -20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-16}}{2\times 5}$$

Atera -16 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4i}{2\times 5}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±4i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{2±4i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±4i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 4i.

$$x=\frac{2+4i}{10}$$

Zatitu 2+4i balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±4i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 4i ken 2.

$$x=\frac{2-4i}{10}$$

Zatitu 2-4i balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-2x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-2x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{1}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Zatitu -\frac{2}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

Gehitu -\frac{1}{5} eta \frac{1}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

Gehitu \frac{1}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$