Resolver 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0.6+1.280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0.6-1.280624847i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, 6 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Egin 6 ber bi.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Gehitu 36 eta -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Atera -164 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -6 eta 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Zatitu -6+2i\sqrt{41} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{41} ken -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Zatitu -6-2i\sqrt{41} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Zatitu -10 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Zatitu \frac{6}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Gehitu -2 eta \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Atera x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Egin ken \frac{3}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$