Resolver 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0.4+0.663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0.4-0.663324958i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

Gehitu 16 eta -60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

Atera -44 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

Zatitu -4+2i\sqrt{11} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{11} ken -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

Zatitu -4-2i\sqrt{11} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}+4x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Zatitu \frac{4}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{2}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{2}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Egin \frac{2}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

Gehitu -\frac{3}{5} eta \frac{4}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

Atera x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

Egin ken \frac{2}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$