Resolver 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5x^{2}+ax+bx+4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 20 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,20 2,10 4,5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

21 batura duen parea da soluzioa.

$$a=1 b=20$$

Berridatzi 5x^{2}+21x+4 honela: \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Deskonposatu 5x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 5x+1=0 eta x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, 21 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Egin 21 ber bi.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Gehitu 441 eta -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Atera 361 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-21±19}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -21 eta 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Murriztu \frac{-2}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-21±19}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 19 ken -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Zatitu -40 balioa 10 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Zatitu \frac{21}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{21}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{21}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Egin \frac{21}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Gehitu -\frac{4}{5} eta \frac{441}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Atera x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Egin ken \frac{21}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$