Resolver 5r^2=11r+12

$$5 r ^ { 2 } = 11 r + 12$$

Ebatzi: r

$$r=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$r=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 11r bi aldeetatik.

$$5r^{2}-11r=12$$

Kendu 12 bi aldeetatik.

$$5r^{2}-11r-12=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5r^{2}+ar+br-12 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-11 ab=5\left(-12\right)=-60$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -60 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

-11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=4$$

Berridatzi 5r^{2}-11r-12 honela: \left(5r^{2}-15r\right)+\left(4r-12\right).

$$\left(5r^{2}-15r\right)+\left(4r-12\right)$$

Deskonposatu 5r lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$5r\left(r-3\right)+4\left(r-3\right)$$

Deskonposatu r-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(r-3\right)\left(5r+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi r-3=0 eta 5r+4=0.

$$r=3 r=-\frac{4}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Kendu 11r bi aldeetatik.

$$5r^{2}-11r=12$$

Kendu 12 bi aldeetatik.

$$5r^{2}-11r-12=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -11 balioa b balioarekin, eta -12 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Egin -11 ber bi.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 5}$$

Gehitu 121 eta 240.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Atera 361 balioaren erro karratua.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 5}$$

-11 zenbakiaren aurkakoa 11 da.

$$r=\frac{11±19}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$r=\frac{11±19}{10}$$

Orain, ebatzi r=\frac{11±19}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 11 eta 19.

$$r=\frac{30}{10}$$

Zatitu 30 balioa 10 balioarekin.

$$r=3$$

Orain, ebatzi r=\frac{11±19}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 19 ken 11.

$$r=-\frac{8}{10}$$

Murriztu \frac{-8}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$r=-\frac{4}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$r=3 r=-\frac{4}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Kendu 11r bi aldeetatik.

$$5r^{2}-11r=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5r^{2}-11r}{5}=\frac{12}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r=\frac{12}{5}$$

Zatitu -\frac{11}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r+\frac{121}{100}=\frac{12}{5}+\frac{121}{100}$$

Gehitu \frac{12}{5} eta \frac{121}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r+\frac{121}{100}=\frac{361}{100}$$

Atera r^{2}-\frac{11}{5}r+\frac{121}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(r-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$r-\frac{11}{10}=\frac{19}{10} r-\frac{11}{10}=-\frac{19}{10}$$

Gehitu \frac{11}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$r=3 r=-\frac{4}{5}$$