Resolver 5(x+2)^2=(7x+3)(x+2)

$$5 ( x + 2 ) ^ { 2 } = ( 7 x + 3 ) ( x + 2 )$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$x=-2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta x^{2}+4x+4 biderkatzeko.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 7x+3 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Kendu 7x^{2} bi aldeetatik.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu 5x^{2} eta -7x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Kendu 17x bi aldeetatik.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

3x lortzeko, konbinatu 20x eta -17x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

14 lortzeko, 20 balioari kendu 6.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -2x^{2}+ax+bx+14 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=3 ab=-2\times 14=-28$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -28 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=7 b=-4$$

Berridatzi -2x^{2}+3x+14 honela: \left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right).

$$\left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right)$$

Deskonposatu -x lehen taldean, eta -2 bigarren taldean.

$$-x\left(2x-7\right)-2\left(2x-7\right)$$

Deskonposatu 2x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-7\right)\left(-x-2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-7=0 eta -x-2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta x^{2}+4x+4 biderkatzeko.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 7x+3 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Kendu 7x^{2} bi aldeetatik.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu 5x^{2} eta -7x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Kendu 17x bi aldeetatik.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

3x lortzeko, konbinatu 20x eta -17x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

14 lortzeko, 20 balioari kendu 6.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -2 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta 14 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -4 bider -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+8\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 8 bider 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-2\right)}$$

Gehitu 9 eta 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Atera 121 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-3±11}{2\left(-2\right)}$$

Egin 2 bider -2.

$$x=\frac{-3±11}{-4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±11}{-4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta 11.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Zatitu 8 balioa -4 balioarekin.

$$x=-2$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±11}{-4} ekuazioa ± minus denean. Egin 11 ken -3.

$$x=-\frac{14}{-4}$$

Murriztu \frac{-14}{-4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{7}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-2 x=\frac{7}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta x^{2}+4x+4 biderkatzeko.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 7x+3 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Kendu 7x^{2} bi aldeetatik.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu 5x^{2} eta -7x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Kendu 17x bi aldeetatik.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

3x lortzeko, konbinatu 20x eta -17x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Kendu 20 bi aldeetatik.

$$-2x^{2}+3x=6-20$$

-14 lortzeko, 6 balioari kendu 20.

$$-2x^{2}+3x=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$\frac{-2x^{2}+3x}{-2}=-\frac{14}{-2}$$

-2 balioarekin zatituz gero, -2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{3}{-2}x=-\frac{14}{-2}$$

Zatitu 3 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{14}{-2}$$

Zatitu -14 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Gehitu 7 eta \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$