Resolver 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Ebatzi: y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17.378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0.621455974$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -90 balioa b balioarekin, eta 54 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Egin -90 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Gehitu 8100 eta -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Atera 7020 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

-90 zenbakiaren aurkakoa 90 da.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Orain, ebatzi y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 90 eta 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Zatitu 90+6\sqrt{195} balioa 10 balioarekin.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Orain, ebatzi y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 6\sqrt{195} ken 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Zatitu 90-6\sqrt{195} balioa 10 balioarekin.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Egin ken 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

54 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Zatitu -90 balioa 5 balioarekin.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Zatitu -18 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -9 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -9 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Egin -9 ber bi.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Gehitu -\frac{54}{5} eta 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Atera y^{2}-18y+81 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Sinplifikatu.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$