Resolver 5x^2-4x+5=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0.4+0.916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0.4-0.916515139i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Egin -4 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

Gehitu 16 eta -100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

Atera -84 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

Zatitu 4+2i\sqrt{21} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{21} ken 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

Zatitu 4-2i\sqrt{21} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-4x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Zatitu -5 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

Zatitu -\frac{4}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

Gehitu -1 eta \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

Gehitu \frac{2}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$