Resolver 5x^2-48x+20=0

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9.163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0.436515154$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -48 balioa b balioarekin, eta 20 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Egin -48 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

Gehitu 2304 eta -400.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

Atera 1904 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

-48 zenbakiaren aurkakoa 48 da.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 48 eta 4\sqrt{119}.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

Zatitu 48+4\sqrt{119} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{119} ken 48.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

Zatitu 48-4\sqrt{119} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

20 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-48x=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

Zatitu -20 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

Zatitu -\frac{48}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{24}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{24}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{24}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

Gehitu -4 eta \frac{576}{25}.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

Gehitu \frac{24}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$