Resolver 5x^2-33x-14=0

$$5 { x }^{ 2 } -33x-14 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=7$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5x^{2}+ax+bx-14 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-33 ab=5\left(-14\right)=-70$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -70 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

-33 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-35 b=2$$

Berridatzi 5x^{2}-33x-14 honela: \left(5x^{2}-35x\right)+\left(2x-14\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(2x-14\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$5x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

Deskonposatu x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-7\right)\left(5x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-7=0 eta 5x+2=0.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-33x-14=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -33 balioa b balioarekin, eta -14 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Egin -33 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -14.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+280}}{2\times 5}$$

Gehitu 1089 eta 280.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1369}}{2\times 5}$$

Atera 1369 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±37}{2\times 5}$$

-33 zenbakiaren aurkakoa 33 da.

$$x=\frac{33±37}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{33±37}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{33±37}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 33 eta 37.

$$x=\frac{70}{10}$$

Zatitu 70 balioa 10 balioarekin.

$$x=7$$

Orain, ebatzi x=\frac{33±37}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 37 ken 33.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Murriztu \frac{-4}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-33x-14=0$$

Gehitu 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-33x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

-14 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-33x=-\left(-14\right)$$

Egin -14 ken 0.

$$5x^{2}-33x=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-33x}{5}=\frac{14}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{14}{5}$$

Zatitu -\frac{33}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{33}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{33}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{14}{5}+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{33}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{14}{5}+\frac{1089}{100}$$

Gehitu \frac{14}{5} eta \frac{1089}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{1369}{100}$$

Atera x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{1369}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{37}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{37}{10}$$

Gehitu \frac{33}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$