Resolver 5x^2-2x+15=0

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0.2+1.720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0.2-1.720465053i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta 15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

Gehitu 4 eta -300.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

Atera -296 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2i\sqrt{74}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

Zatitu 2+2i\sqrt{74} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{74} ken 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

Zatitu 2-2i\sqrt{74} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-2x=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

Zatitu -15 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

Zatitu -\frac{2}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

Gehitu -3 eta \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

Gehitu \frac{1}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$