Resolver 5x^2-2x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } -2x+10=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i=0.2+1.4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i=0.2-1.4i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-2x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 10}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 10.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-200}}{2\times 5}$$

Gehitu 4 eta -200.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-196}}{2\times 5}$$

Atera -196 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14i}{2\times 5}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±14i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{2±14i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±14i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 14i.

$$x=\frac{2+14i}{10}$$

Zatitu 2+14i balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±14i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 14i ken 2.

$$x=\frac{2-14i}{10}$$

Zatitu 2-14i balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-2x+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-2x+10-10=-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-2x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{10}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Zatitu -10 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-2$$

Zatitu -\frac{2}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-2+\frac{1}{25}$$

Gehitu -2 eta \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{49}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{49}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{49}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{7}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{7}{5}i$$

Gehitu \frac{1}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i$$