Resolver 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5x^{2}+ax+bx-42 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -210 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

-29 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-35 b=6$$

Berridatzi 5x^{2}-29x-42 honela: \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta 6 bigarren taldean.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Deskonposatu x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-7=0 eta 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -29 balioa b balioarekin, eta -42 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Egin -29 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Gehitu 841 eta 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Atera 1681 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

-29 zenbakiaren aurkakoa 29 da.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{29±41}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 29 eta 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Zatitu 70 balioa 10 balioarekin.

$$x=7$$

Orain, ebatzi x=\frac{29±41}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 41 ken 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Murriztu \frac{-12}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Gehitu 42 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

-42 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Egin -42 ken 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Zatitu -\frac{29}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{29}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{29}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{29}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Gehitu \frac{42}{5} eta \frac{841}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Atera x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Gehitu \frac{29}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$