Resolver 5x^2-10x-15=0

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

Ebatzi: x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=-3 b=1$$

Berridatzi x^{2}-2x-3 honela: \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x x^{2}-3x taldean.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -10 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Egin -10 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Gehitu 100 eta 300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Atera 400 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

-10 zenbakiaren aurkakoa 10 da.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±20}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 10 eta 20.

$$x=\frac{30}{10}$$

Zatitu 30 balioa 10 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±20}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 20 ken 10.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Zatitu -10 balioa 10 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

Egin -15 ken 0.

$$5x^{2}-10x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

Zatitu -10 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

Zatitu 15 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-2x=3$$

Zatitu -2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Gehitu 3 eta 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Atera x^{2}-2x+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sinplifikatu.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-1$$