Resolver 5x^2+7x=-3=

$$5 { x }^{ 2 } +7x = -3 =$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.7+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}\approx -0.7-0.331662479i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}+7x=-3$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}+7x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

-3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}+7x-\left(-3\right)=0$$

Egin -3 ken 0.

$$5x^{2}+7x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Egin 7 ber bi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\times 3}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-60}}{2\times 5}$$

Gehitu 49 eta -60.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Atera -11 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{11} ken -7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}+7x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=-\frac{3}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Zatitu \frac{7}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Gehitu -\frac{3}{5} eta \frac{49}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{11}{100}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Egin ken \frac{7}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$