Resolver 5x^2+5x+9=0

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0.5+1.24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.24498996i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta 9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

Gehitu 25 eta -180.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

Atera -155 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta i\sqrt{155}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

Zatitu -5+i\sqrt{155} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{155} ken -5.

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

Zatitu -5-i\sqrt{155} balioa 10 balioarekin.

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}+5x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

Zatitu 5 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

Gehitu -\frac{9}{5} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$