Resolver 5x^2+3x+2=0

$$5 { x }^{ 2 } +3x+2=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{10}\approx -0.3+0.556776436i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{10}\approx -0.3-0.556776436i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}+3x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\times 2}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-40}}{2\times 5}$$

Gehitu 9 eta -40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-31}}{2\times 5}$$

Atera -31 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-3±\sqrt{31}i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{31}i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{31}i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{31}i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{31} ken -3.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{10}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{10} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{10}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}+3x+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}+3x+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}+3x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{2}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{2}{5}$$

Zatitu \frac{3}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Gehitu -\frac{2}{5} eta \frac{9}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{31}{100}$$

Atera x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{31}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{31}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{31}i}{10}$$

Egin ken \frac{3}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{10} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{10}$$