Resolver 5x^2+10x-75=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-5$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -15 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,15 -3,5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

2 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=5$$

Berridatzi x^{2}+2x-15 honela: \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, 10 balioa b balioarekin, eta -75 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Egin 10 ber bi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

Gehitu 100 eta 1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

Atera 1600 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±40}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -10 eta 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

Zatitu 30 balioa 10 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±40}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 40 ken -10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Zatitu -50 balioa 10 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=-5$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Gehitu 75 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

-75 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

Egin -75 ken 0.

$$5x^{2}+10x=75$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

Zatitu 10 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

Zatitu 75 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}+2x=15$$

Zatitu 2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Egin 1 ber bi.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Gehitu 15 eta 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Atera x^{2}+2x+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sinplifikatu.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-5$$