Resolver 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0.306122449+0.645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0.306122449-0.645362788i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 49 balioa a balioarekin, 30 balioa b balioarekin, eta 25 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Egin 30 ber bi.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Egin -4 bider 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Egin -196 bider 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Gehitu 900 eta -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Atera -4000 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Egin 2 bider 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -30 eta 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Zatitu -30+20i\sqrt{10} balioa 98 balioarekin.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} ekuazioa ± minus denean. Egin 20i\sqrt{10} ken -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Zatitu -30-20i\sqrt{10} balioa 98 balioarekin.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Egin ken 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

25 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 49 balioarekin.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

49 balioarekin zatituz gero, 49 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Zatitu \frac{30}{49} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{15}{49} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{15}{49} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Egin \frac{15}{49} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Gehitu -\frac{25}{49} eta \frac{225}{2401} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Atera x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Egin ken \frac{15}{49} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$