Resolver 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Ebatzi: t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 49 balioarekin.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, t^{2}+at+bt-4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -4 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-4 2,-2$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-4=-3 2-2=0$$

-3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-4 b=1$$

Berridatzi t^{2}-3t-4 honela: \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Deskonposatu t t^{2}-4t taldean.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Deskonposatu t-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi t-4=0 eta t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 49 balioa a balioarekin, -147 balioa b balioarekin, eta -196 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Egin -147 ber bi.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Egin -4 bider 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Egin -196 bider -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Gehitu 21609 eta 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Atera 60025 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

-147 zenbakiaren aurkakoa 147 da.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Egin 2 bider 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Orain, ebatzi t=\frac{147±245}{98} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 147 eta 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Zatitu 392 balioa 98 balioarekin.

$$t=4$$

Orain, ebatzi t=\frac{147±245}{98} ekuazioa ± minus denean. Egin 245 ken 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Zatitu -98 balioa 98 balioarekin.

$$t=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=4 t=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Gehitu 196 ekuazioaren bi aldeetan.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

-196 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Egin -196 ken 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 49 balioarekin.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

49 balioarekin zatituz gero, 49 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Zatitu -147 balioa 49 balioarekin.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Zatitu 196 balioa 49 balioarekin.

$$t^{2}-3t=4$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Gehitu 4 eta \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Atera t^{2}-3t+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=4 t=-1$$