Resolver 48x^2+22x-15=0

$$48 { x }^{ 2 } +22x-15=0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 48x^{2}+ax+bx-15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=22 ab=48\left(-15\right)=-720$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -720 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,720 -2,360 -3,240 -4,180 -5,144 -6,120 -8,90 -9,80 -10,72 -12,60 -15,48 -16,45 -18,40 -20,36 -24,30$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+720=719 -2+360=358 -3+240=237 -4+180=176 -5+144=139 -6+120=114 -8+90=82 -9+80=71 -10+72=62 -12+60=48 -15+48=33 -16+45=29 -18+40=22 -20+36=16 -24+30=6$$

22 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-18 b=40$$

Berridatzi 48x^{2}+22x-15 honela: \left(48x^{2}-18x\right)+\left(40x-15\right).

$$\left(48x^{2}-18x\right)+\left(40x-15\right)$$

Deskonposatu 6x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$6x\left(8x-3\right)+5\left(8x-3\right)$$

Deskonposatu 8x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(8x-3\right)\left(6x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 8x-3=0 eta 6x+5=0.

$$x=\frac{3}{8} x=-\frac{5}{6}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$48x^{2}+22x-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 48 balioa a balioarekin, 22 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 48\left(-15\right)}}{2\times 48}$$

Egin 22 ber bi.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-4\times 48\left(-15\right)}}{2\times 48}$$

Egin -4 bider 48.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-192\left(-15\right)}}{2\times 48}$$

Egin -192 bider -15.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484+2880}}{2\times 48}$$

Gehitu 484 eta 2880.

$$x=\frac{-22±\sqrt{3364}}{2\times 48}$$

Atera 3364 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-22±58}{2\times 48}$$

Egin 2 bider 48.

$$x=\frac{-22±58}{96}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-22±58}{96} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -22 eta 58.

$$x=\frac{36}{96}$$

Murriztu \frac{36}{96} zatikia gai txikienera, 12 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{3}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-22±58}{96} ekuazioa ± minus denean. Egin 58 ken -22.

$$x=-\frac{80}{96}$$

Murriztu \frac{-80}{96} zatikia gai txikienera, 16 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3}{8} x=-\frac{5}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$48x^{2}+22x-15=0$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$48x^{2}+22x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$48x^{2}+22x=-\left(-15\right)$$

Egin -15 ken 0.

$$48x^{2}+22x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 48 balioarekin.

$$\frac{48x^{2}+22x}{48}=\frac{15}{48}$$

48 balioarekin zatituz gero, 48 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{22}{48}x=\frac{15}{48}$$

Murriztu \frac{22}{48} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{11}{24}x=\frac{15}{48}$$

Murriztu \frac{15}{48} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{11}{24}x=\frac{5}{16}$$

Zatitu \frac{11}{24} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{11}{48} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{11}{48} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{11}{24}x+\left(\frac{11}{48}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(\frac{11}{48}\right)^{2}$$

Egin \frac{11}{48} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{11}{24}x+\frac{121}{2304}=\frac{5}{16}+\frac{121}{2304}$$

Gehitu \frac{5}{16} eta \frac{121}{2304} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{11}{24}x+\frac{121}{2304}=\frac{841}{2304}$$

Atera x^{2}+\frac{11}{24}x+\frac{121}{2304} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{11}{48}\right)^{2}=\frac{841}{2304}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{2304}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{11}{48}=\frac{29}{48} x+\frac{11}{48}=-\frac{29}{48}$$

Egin ken \frac{11}{48} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3}{8} x=-\frac{5}{6}$$