Resolver 47x^2+6x+10=0

$$47 { x }^{ 2 } +6x+10=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{461}i}{47}\approx -0.063829787+0.456827884i$$

$$x=\frac{-\sqrt{461}i-3}{47}\approx -0.063829787-0.456827884i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$47x^{2}+6x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 47 balioa a balioarekin, 6 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 47\times 10}}{2\times 47}$$

Egin 6 ber bi.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 47\times 10}}{2\times 47}$$

Egin -4 bider 47.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-188\times 10}}{2\times 47}$$

Egin -188 bider 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-1880}}{2\times 47}$$

Gehitu 36 eta -1880.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-1844}}{2\times 47}$$

Atera -1844 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{461}i}{2\times 47}$$

Egin 2 bider 47.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{461}i}{94}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±2\sqrt{461}i}{94} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -6 eta 2i\sqrt{461}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{461}i}{94}$$

Zatitu -6+2i\sqrt{461} balioa 94 balioarekin.

$$x=\frac{-3+\sqrt{461}i}{47}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±2\sqrt{461}i}{94} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{461} ken -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{461}i-6}{94}$$

Zatitu -6-2i\sqrt{461} balioa 94 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{461}i-3}{47}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3+\sqrt{461}i}{47} x=\frac{-\sqrt{461}i-3}{47}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$47x^{2}+6x+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$47x^{2}+6x+10-10=-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$47x^{2}+6x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 47 balioarekin.

$$\frac{47x^{2}+6x}{47}=-\frac{10}{47}$$

47 balioarekin zatituz gero, 47 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{6}{47}x=-\frac{10}{47}$$

Zatitu \frac{6}{47} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{47} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{47} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{6}{47}x+\left(\frac{3}{47}\right)^{2}=-\frac{10}{47}+\left(\frac{3}{47}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{47} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{6}{47}x+\frac{9}{2209}=-\frac{10}{47}+\frac{9}{2209}$$

Gehitu -\frac{10}{47} eta \frac{9}{2209} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{6}{47}x+\frac{9}{2209}=-\frac{461}{2209}$$

Atera x^{2}+\frac{6}{47}x+\frac{9}{2209} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{47}\right)^{2}=-\frac{461}{2209}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{47}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{461}{2209}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{47}=\frac{\sqrt{461}i}{47} x+\frac{3}{47}=-\frac{\sqrt{461}i}{47}$$

Egin ken \frac{3}{47} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{461}i}{47} x=\frac{-\sqrt{461}i-3}{47}$$