Resolver 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 42x^{2}+ax+bx-3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -126 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-14 b=9$$

Berridatzi 42x^{2}-5x-3 honela: \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Deskonposatu 14x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Deskonposatu 3x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-1=0 eta 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 42 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Egin -5 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Egin -4 bider 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Egin -168 bider -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Gehitu 25 eta 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Atera 529 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Egin 2 bider 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±23}{84} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Murriztu \frac{28}{84} zatikia gai txikienera, 28 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±23}{84} ekuazioa ± minus denean. Egin 23 ken 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Murriztu \frac{-18}{84} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Egin -3 ken 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 42 balioarekin.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

42 balioarekin zatituz gero, 42 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Murriztu \frac{3}{42} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Zatitu -\frac{5}{42} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{84} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{84} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{84} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Gehitu \frac{1}{14} eta \frac{25}{7056} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Gehitu \frac{5}{84} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$