Resolver 41.9x^2-91.8x+45.9=0

$$41.9 x ^ { 2 } - 91.8 x + 45.9 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1.418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0.772078574$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$41.9x^{2}-91.8x+45.9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 41.9 balioa a balioarekin, -91.8 balioa b balioarekin, eta 45.9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-91.8\right)±\sqrt{\left(-91.8\right)^{2}-4\times 41.9\times 45.9}}{2\times 41.9}$$

Egin -91.8 ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x=\frac{-\left(-91.8\right)±\sqrt{8427.24-4\times 41.9\times 45.9}}{2\times 41.9}$$

Egin -4 bider 41.9.

$$x=\frac{-\left(-91.8\right)±\sqrt{8427.24-167.6\times 45.9}}{2\times 41.9}$$

Egin -167.6 bider 45.9, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-91.8\right)±\sqrt{\frac{210681-192321}{25}}}{2\times 41.9}$$

Gehitu 8427.24 eta -7692.84 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-91.8\right)±\sqrt{734.4}}{2\times 41.9}$$

Atera 734.4 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-91.8\right)±\frac{6\sqrt{510}}{5}}{2\times 41.9}$$

-91.8 zenbakiaren aurkakoa 91.8 da.

$$x=\frac{91.8±\frac{6\sqrt{510}}{5}}{2\times 41.9}$$

Egin 2 bider 41.9.

$$x=\frac{91.8±\frac{6\sqrt{510}}{5}}{83.8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{91.8±\frac{6\sqrt{510}}{5}}{83.8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 91.8 eta \frac{6\sqrt{510}}{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{5\times 83.8}$$

Zatitu \frac{459+6\sqrt{510}}{5} balioa 83.8 frakzioarekin, \frac{459+6\sqrt{510}}{5} balioa 83.8 frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

Orain, ebatzi x=\frac{91.8±\frac{6\sqrt{510}}{5}}{83.8} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{6\sqrt{510}}{5} ken 91.8.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{5\times 83.8}$$

Zatitu \frac{459-6\sqrt{510}}{5} balioa 83.8 frakzioarekin, \frac{459-6\sqrt{510}}{5} balioa 83.8 frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$41.9x^{2}-91.8x+45.9=0$$

Egin ken 45.9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$41.9x^{2}-91.8x+45.9-45.9=-45.9$$

45.9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$41.9x^{2}-91.8x=-45.9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 41.9 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$\frac{41.9x^{2}-91.8x}{41.9}=-\frac{45.9}{41.9}$$

41.9 balioarekin zatituz gero, 41.9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{91.8}{41.9}\right)x=-\frac{45.9}{41.9}$$

Zatitu -91.8 balioa 41.9 frakzioarekin, -91.8 balioa 41.9 frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{45.9}{41.9}$$

Zatitu -45.9 balioa 41.9 frakzioarekin, -45.9 balioa 41.9 frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

Zatitu -\frac{918}{419} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{459}{419} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{459}{419} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

Egin -\frac{459}{419} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

Gehitu -\frac{459}{419} eta \frac{210681}{175561} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

Atera x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

Gehitu \frac{459}{419} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$