Resolver 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Ebatzi: y

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4y^{2}+ay+by+2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 8 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-8 -2,-4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

-9 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-8 b=-1$$

Berridatzi 4y^{2}-9y+2 honela: \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Deskonposatu 4y lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Deskonposatu y-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-2=0 eta 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -9 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Egin -9 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Gehitu 81 eta -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

-9 zenbakiaren aurkakoa 9 da.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Orain, ebatzi y=\frac{9±7}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 9 eta 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Zatitu 16 balioa 8 balioarekin.

$$y=2$$

Orain, ebatzi y=\frac{9±7}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Murriztu \frac{2}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=\frac{1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Murriztu \frac{-2}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Zatitu -\frac{9}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{81}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Atera y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Gehitu \frac{9}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$