Resolver 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Ebatzi: y

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1.593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0.156929669$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Egin -7 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Gehitu 49 eta -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Orain, ebatzi y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Orain, ebatzi y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{33} ken 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Zatitu -\frac{7}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Gehitu -\frac{1}{4} eta \frac{49}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Atera y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Gehitu \frac{7}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$