Resolver 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Ebatzi: y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15.717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1.717797887$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4y^{2}-56y=108$$

Egin ken 108 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

108 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -56 balioa b balioarekin, eta -108 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Egin -56 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Gehitu 3136 eta 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Atera 4864 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

-56 zenbakiaren aurkakoa 56 da.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Orain, ebatzi y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 56 eta 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Zatitu 56+16\sqrt{19} balioa 8 balioarekin.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Orain, ebatzi y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 16\sqrt{19} ken 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Zatitu 56-16\sqrt{19} balioa 8 balioarekin.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4y^{2}-56y=108$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Zatitu -56 balioa 4 balioarekin.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Zatitu 108 balioa 4 balioarekin.

$$y^{2}-14y=27$$

Zatitu -14 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -7 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -7 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Egin -7 ber bi.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Gehitu 27 eta 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Atera y^{2}-14y+49 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Sinplifikatu.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$