Resolver 4x-y-10=0;3x+5y-19=0

$$4 x - y - 10 = 0 ; 3 x + 5 y - 19 = 0$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-y-10=0,3x+5y-19=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-y-10=0$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x-y=10$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+10\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider y+10.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{y}{4}+\frac{5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+5y-19=0).

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}\right)+5y-19=0$$

Egin 3 bider \frac{y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}+5y-19=0$$

Gehitu \frac{3y}{4} eta 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{15}{2}-19=0$$

Gehitu \frac{15}{2} eta -19.

$$\frac{23}{4}y-\frac{23}{2}=0$$

Gehitu \frac{23}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{23}{4}y=\frac{23}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{23}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

Egin \frac{1}{4} bider 2.

$$x=\frac{1+5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{1}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-y-10=0,3x+5y-19=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 10+\frac{1}{23}\times 19\\-\frac{3}{23}\times 10+\frac{4}{23}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-y-10=0,3x+5y-19=0$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 5y+4\left(-19\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$12x-3y-30=0,12x+20y-76=0$$

Egin 12x+20y-76=0 ken 12x-3y-30=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-3y-20y-30+76=0$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-20y-30+76=0$$

Gehitu -3y eta -20y.

$$-23y-30+76=0$$

Gehitu -30 eta 76.

$$-23y+46=0$$

Egin ken 46 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-23y=-46$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -23 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 3x+5y-19=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+5\times 2-19=0$$

Egin 5 bider 2.

$$3x+10-19=0$$

Gehitu 10 eta -19.

$$3x-9=0$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$