Resolver 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-y=5$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Ordeztu \frac{5+y}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x+5y=7).

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Egin -4 bider \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Gehitu -y eta 5y.

$$4y-5=7$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Egin \frac{1}{4} bider 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta \frac{3}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

4x eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Sinplifikatu.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Egin -16x+20y=28 ken -16x+4y=-20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Gehitu -16x eta 16x. Sinplifikatu egiten dira -16x eta 16x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-20y=-20-28$$

Gehitu 4y eta -20y.

$$-16y=-20-28$$

Gehitu -20 eta -28.

$$-16y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin -4x+5y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x+5\times 3=7$$

Egin 5 bider 3.

$$-4x+15=7$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$