Resolver 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-3y=2$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=3y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+5y=-11).

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Gehitu \frac{3y}{4} eta 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{23}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Egin \frac{3}{4} bider -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta -\frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

4x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Sinplifikatu.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Egin 4x+20y=-44 ken 4x-3y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-20y=2+44$$

Gehitu -3y eta -20y.

$$-23y=2+44$$

Gehitu 2 eta 44.

$$-23y=46$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -23 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x+5y=-11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Egin 5 bider -2.

$$x-10=-11$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-2$$