Resolver 4x-2y=6;quad9x+11y=-8

$$4 x - 2 y = 6 ; \quad 9 x + 11 y = - 8$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{25}{31}\approx 0.806451613$$

$$y = -\frac{43}{31} = -1\frac{12}{31} \approx -1.387096774$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-2y=6,9x+11y=-8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-2y=6$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=2y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{3+y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x+11y=-8).

$$9\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+11y=-8$$

Egin 9 bider \frac{3+y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{27}{2}+11y=-8$$

Gehitu \frac{9y}{2} eta 11y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{27}{2}=-8$$

Egin ken \frac{27}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{43}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{31}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{43}{31}$$

Ordeztu -\frac{43}{31} y balioarekin x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{43}{31}\right)+\frac{3}{2}$$

Egin \frac{1}{2} bider -\frac{43}{31}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{43}{62}+\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} eta -\frac{43}{62} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{25}{31}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{25}{31},y=-\frac{43}{31}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-2y=6,9x+11y=-8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}&\frac{4}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{62}&\frac{1}{31}\\-\frac{9}{62}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{62}\times 6+\frac{1}{31}\left(-8\right)\\-\frac{9}{62}\times 6+\frac{2}{31}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{31}\\-\frac{43}{31}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{25}{31},y=-\frac{43}{31}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-2y=6,9x+11y=-8$$

4x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\times 4x+9\left(-2\right)y=9\times 6,4\times 9x+4\times 11y=4\left(-8\right)$$

Sinplifikatu.

$$36x-18y=54,36x+44y=-32$$

Egin 36x+44y=-32 ken 36x-18y=54 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$36x-36x-18y-44y=54+32$$

Gehitu 36x eta -36x. Sinplifikatu egiten dira 36x eta -36x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-18y-44y=54+32$$

Gehitu -18y eta -44y.

$$-62y=54+32$$

Gehitu 54 eta 32.

$$-62y=86$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -62 balioarekin.

$$y=-\frac{43}{31}$$

Ordeztu -\frac{43}{31} y balioarekin 9x+11y=-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x+11\left(-\frac{43}{31}\right)=-8$$

Egin 11 bider -\frac{43}{31}.

$$9x-\frac{473}{31}=-8$$

Gehitu \frac{473}{31} ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=\frac{225}{31}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{25}{31}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{25}{31},y=-\frac{43}{31}$$