Resolver 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx-5 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -20 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=4$$

Berridatzi 4x^{2}-x-5 honela: \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Deskonposatu x 4x^{2}-5x taldean.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Deskonposatu 4x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 4x-5=0 eta x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Gehitu 1 eta 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Atera 81 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±9}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Murriztu \frac{10}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±9}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 9 ken 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Zatitu -8 balioa 8 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Egin -5 ken 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Zatitu -\frac{1}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta \frac{1}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Gehitu \frac{1}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$