Resolver 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx-9 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -36 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

-9 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-12 b=3$$

Berridatzi 4x^{2}-9x-9 honela: \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

Deskonposatu 4x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -9 balioa b balioarekin, eta -9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Egin -9 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Gehitu 81 eta 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Atera 225 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

-9 zenbakiaren aurkakoa 9 da.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±15}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 9 eta 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Zatitu 24 balioa 8 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±15}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 15 ken 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Murriztu \frac{-6}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Egin -9 ken 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Zatitu -\frac{9}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Gehitu \frac{9}{4} eta \frac{81}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Gehitu \frac{9}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$