Resolver 4x^2-7x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 9 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{193} + 7}{8} \approx 2.611555499$$

$$x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}\approx -0.861555499$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-7x-9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta -9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Egin -7 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+144}}{2\times 4}$$

Gehitu 49 eta 144.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{193}}{2\times 4}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$x=\frac{7±\sqrt{193}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{193}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±\sqrt{193}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta \sqrt{193}.

$$x=\frac{\sqrt{193}+7}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±\sqrt{193}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{193} ken 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{193}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-7x-9=0$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-7x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-7x=-\left(-9\right)$$

Egin -9 ken 0.

$$4x^{2}-7x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{9}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{9}{4}$$

Zatitu -\frac{7}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{9}{4}+\frac{49}{64}$$

Gehitu \frac{9}{4} eta \frac{49}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{193}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{193}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{193}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{193}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{193}}{8}$$

Gehitu \frac{7}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{193}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{193}}{8}$$