Resolver 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx+3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 12 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

-7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-4 b=-3$$

Berridatzi 4x^{2}-7x+3 honela: \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Deskonposatu 4x lehen taldean, eta -3 bigarren taldean.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Deskonposatu x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-1=0 eta 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Egin -7 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Gehitu 49 eta -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Atera 1 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±1}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Zatitu 8 balioa 8 balioarekin.

$$x=1$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±1}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 1 ken 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Murriztu \frac{6}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Zatitu -\frac{7}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Gehitu -\frac{3}{4} eta \frac{49}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Gehitu \frac{7}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$