Resolver 4x^2-4x-23=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x - 23 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2}\approx 2.949489743$$

$$x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}\approx -1.949489743$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-4x-23=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta -23 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -23.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+368}}{2\times 4}$$

Gehitu 16 eta 368.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{384}}{2\times 4}$$

Atera 384 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8\sqrt{6}}{2\times 4}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$x=\frac{4±8\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 8\sqrt{6}.

$$x=\frac{8\sqrt{6}+4}{8}$$

Zatitu 4+8\sqrt{6} balioa 8 balioarekin.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 8\sqrt{6} ken 4.

$$x=\frac{4-8\sqrt{6}}{8}$$

Zatitu 4-8\sqrt{6} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-4x-23=0$$

Gehitu 23 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-4x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

-23 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-4x=-\left(-23\right)$$

Egin -23 ken 0.

$$4x^{2}-4x=23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{23}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{23}{4}$$

Zatitu -4 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}-x=\frac{23}{4}$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{23}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{23+1}{4}$$

Gehitu \frac{23}{4} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=6$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=6$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\sqrt{6} x-\frac{1}{2}=-\sqrt{6}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$