Resolver 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 4 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

-4 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-2 b=-2$$

Berridatzi 4x^{2}-4x+1 honela: \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Deskonposatu 2x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Egin -4 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Gehitu 16 eta -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Murriztu \frac{4}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Zatitu -4 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Gehitu -\frac{1}{4} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=\frac{1}{2}$$