Resolver 4x^2-2x=1

$$4 x ^ { 2 } - 2 x = 1$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0.809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0.309016994$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-2x=1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-2x-1=1-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\times 4}$$

Gehitu 4 eta 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Atera 20 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$$

Zatitu 2+2\sqrt{5} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{5} ken 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{8}$$

Zatitu 2-2\sqrt{5} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-2x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{1}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Murriztu \frac{-2}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Zatitu -\frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{1}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$