Resolver 4x^2-2x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0.25+1.479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0.25-1.479019946i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta 9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

Gehitu 4 eta -144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

Atera -140 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2i\sqrt{35}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

Zatitu 2+2i\sqrt{35} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{35} ken 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

Zatitu 2-2i\sqrt{35} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-2x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Murriztu \frac{-2}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Zatitu -\frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

Gehitu -\frac{9}{4} eta \frac{1}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$