Resolver 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4.054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0.554886114$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-14x=9$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -14 balioa b balioarekin, eta -9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Egin -14 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Gehitu 196 eta 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Atera 340 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

-14 zenbakiaren aurkakoa 14 da.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 14 eta 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Zatitu 14+2\sqrt{85} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{85} ken 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Zatitu 14-2\sqrt{85} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-14x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Murriztu \frac{-14}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Zatitu -\frac{7}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Gehitu \frac{9}{4} eta \frac{49}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Gehitu \frac{7}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$